已知F是抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA•OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是．

Question

已知F是抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

OA

•

OB

=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是______．

Answer 1

设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（0，m），
x=ty+m代入y²=x，可得y²-ty-m=0，根据韦达定理有y₁•y₂=-m，
∵

OA

•

OB

=2，∴x₁•x₂+y₁•y₂=2，从而（y₁•y₂）²+y₁•y₂-2=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，
又F（(1)/(4)，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=(1)/(2)×2×（y₁-y₂）+(1)/(2)×(1)/(4)y₁=(9)/(8)y₁+(2)/(y1)≥3
当且仅当(9)/(8)y₁=(2)/(y1)，即y₁=(4)/(3)时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，
故答案为：3．