如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；

Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴

4a−2b+c＝0

64a+8b+c＝0

c＝−4

，解得

a＝(1)/(4)

b＝−(3)/(2)

c＝−4

，
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(4)x²-(3)/(2)x-4；
∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．
如答图1，连接AC、BC．

由勾股定理得：AC=√(20)，BC=√(80)．
∵AC²+BC²=AB²=100，
∴∠ACB=90°，
∴AB为圆的直径．
由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，
∴D（0，4）．

（2）解法一：
设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），
∴

8k+b＝0

b＝4

，解得

k＝−(1)/(2)

b＝4

，
∴直线BD解析式为：y=-(1)/(2)x+4．
设M（x，(1)/(4)x²-(3)/(2)x-4），
如答图2-1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-(1)/(2)x+4）．
∴ME=（-(1)/(2)x+4）-（(1)/(4)x²-(3)/(2)x-4）=-(1)/(4)x²+x+8．
∴S_△BDM=S_△MED+S_△MEB=(1)/(2)ME（x_E-x_D）+(1)/(2)ME（x_B-x_E）=(1)/(2)ME（x_B-x_D）=4ME，
∴S_△BDM=4（-(1)/(4)x²+x+8）=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．
∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；

解法二：
如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．
设M（m，(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4），
∵S_△OBD=(1)/(2)OB•OD=(1)/(2)×8×4=16，
S_梯形OBMN=(1)/(2)（MN+OB）•ON
=(1)/(2)（m+8）[-（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）]
=-(1)/(2)m（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）-4（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4），
S_△MND=(1)/(2)MN•DN
=(1)/(2)m[4-（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）]
=2m-(1)/(2)m（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4），
∴S_△BDM=S_△OBD+S_梯形OBMN-S_△MND
=16-(1)/(2)m（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）-4（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）-2m+(1)/(2)m（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）
=16-4（(1)/(4)m²-(3)/(2)m-4）-2m
=-m²+4m+32
=-（m-2）²+36；
∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．

（3）如答图3，连接AD、BC．

由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴(OD)/(OA)=(OB)/(OC)，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵已知抛物线y=x²+bx+c（c＜0），
∵OC=-c，x₁x₂=c，
∴(OD)/(−x1)=(x2)/(−c)，
∴OD=(−x1x2)/(−c)=1，
∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．