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如图,由部分抛物线y2=mx+1(m>0,x≥0)和半圆x2+y2=r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”,若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(-12,32).(1)求“黄金抛物线C”的方程;(2)
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如图,由部分抛物线y2=mx+1(m>0,x≥0)和半圆x2+y2=r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”,若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(-
,
).

(1)求“黄金抛物线C”的方程;
(2)设P(0,1)和Q(0,-1),过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A,P,B三点,问是否存在这样的直线l,使得QP平分∠AQB?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
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(1)求“黄金抛物线C”的方程;
(2)设P(0,1)和Q(0,-1),过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A,P,B三点,问是否存在这样的直线l,使得QP平分∠AQB?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
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答案和解析
(1)(3,2)代入抛物线y2=mx+1,可得4=3m+1,∴m=1,
(-
,
)代入x2+y2=r2,可得r=1.
∴“黄金抛物线C”的方程为抛物线y2=x+1(x≥0)和半圆x2+y2=1(x≤0);
(2)假设存在这样的直线l,使得QP平分∠AQB,则kAQ=-kBQ,
设直线AB的方程为y=kx+1,与x2+y2=1联立,可得A(-
,
),
y=kx+1,与y2=x+1联立,可得B(
,
),
∴
=-
,
∴k=-1±
,
∴直线AB的方程为y=(-1±
)x+1.
(-
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∴“黄金抛物线C”的方程为抛物线y2=x+1(x≥0)和半圆x2+y2=1(x≤0);
(2)假设存在这样的直线l,使得QP平分∠AQB,则kAQ=-kBQ,
设直线AB的方程为y=kx+1,与x2+y2=1联立,可得A(-
2k |
1+k2 |
1-k2 |
1+k2 |
y=kx+1,与y2=x+1联立,可得B(
1-2k |
k2 |
1-k |
k |
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∴k=-1±
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∴直线AB的方程为y=(-1±
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