如图，由部分抛物线y2=mx+1（m>0，x≥0）和半圆x2+y2=r2（x≤0）所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点（3，2）和（-12，32）．（1）求“黄金抛物线C”的方程；（2）

Question

如图，由部分抛物线y²=mx+1（m>0，x≥0）和半圆x²+y²=r²（x≤0）所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点（3，2）和（-(1)/(2)，(√(3))/(2)）．

（1）求“黄金抛物线C”的方程；
（2）设P（0，1）和Q（0，-1），过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（3，2）代入抛物线y²=mx+1，可得4=3m+1，∴m=1，
（-(1)/(2)，(√(3))/(2)）代入x²+y²=r²，可得r=1．
∴“黄金抛物线C”的方程为抛物线y²=x+1（x≥0）和半圆x²+y²=1（x≤0）；
（2）假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，则k_AQ=-k_BQ，
设直线AB的方程为y=kx+1，与x²+y²=1联立，可得A（-(2k)/(1+k2)，(1-k2)/(1+k2)），
y=kx+1，与y²=x+1联立，可得B（(1-2k)/(k2)，(1-k)/(k)），
∴((1-k2)/(1+k2)+1)/(-(2k)/(1+k2))=-((1-k)/(k)+1)/((1-2k)/(k2))，
∴k=-1±√(2)，
∴直线AB的方程为y=（-1±√(2)）x+1．