x^2+(y-2)^2=1绕x轴旋转所得的体积.要用积分的方法哦.

Question

x^2+(y-2)^2=1绕x轴旋转所得的体积.要用积分的方法哦.

Answer 1

如图.
所求的体积是一个轮胎状的立体,
它的体积等于圆x²+(y-2)²=1上半圆弧绕x轴形成的总体积减去下半圆弧形成的空心部分的体积.
曲线y=f9x0绕x轴旋转形成的立体的定积分求体积的公式为
V=π∫[a,b]f²(x)dx
其中a、b为积分的下限、上限.
在本题中,
上半圆弧为：y=2+√(1-x²)
下半圆弧为：y=2-√(1-x²)
所以（积分上下限均为1和-1,下面不写出来了）
V=π∫[2+√(1-x²)]²dx-π∫[2-√(1-x²)]²dx
=π∫[4+4√(1-x²)+(1-x²)]dx-π∫[4-4√(1-x²)+(1-x²)]dx
=π∫[8√(1-x²)]dx
=8π∫√(1-x²)dx
=4π²