若0＜y＜x＜π2，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（）A．π6B．π5C．π4D．π3

Question

若0＜y＜x＜(π)/(2)，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（　　）

A．(π)/(6)
B．(π)/(5)
C．(π)/(4)
D．(π)/(3)

Answer 1

∵tan2x=3tan（x-y），
∴tan[（x+y）+（x-y）]=3tan（x-y），
由两角和的正切公式可得(tan(x+y)+tan(x−y))/(1−tan(x+y)tan(x−y))=3tan（x-y），
变形可得tan（x+y）+tan（x-y）=3tan（x-y）-3tan²（x-y）tan（x+y），
即[1+3tan²（x-y）]tan（x+y）=2tan（x-y），
∴tan（x+y）=(2tan(x−y))/(1+3tan2(x−y))=(2)/((1)/(tan(x−y))+3tan(x−y))，
∵0＜y＜x＜(π)/(2)，
∴0＜x-y＜(π)/(2)，
∴tan（x-y）＞0，
∴由基本不等式可得tan（x+y）=(2)/((1)/(tan(x−y))+3tan(x−y))≤(2)/(2√(3))=(√(3))/(3)
当且仅当tan（x-y）=√(3)时取等号，
结合0＜x+y＜π可得x+y≤(π)/(6)，或(π)/(2)＜x+y＜π，
四个选项只有A符合，
故选：A