已知函数f1（x）=|x-1|，f2（x）=13x+1，g（x）=f1(x)+f2(x)2+|f1(x)−f2(x)|2，若a，b∈[-1，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，g(x1)−g(x2)x1−x2＞0恒成立，则b-a的最大值为（）A.2B.3C.4D.5

Question

已知函数f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=(1)/(3)x+1，g（x）=(f1(x)+f2(x))/(2)+(|f1(x)−f2(x)|)/(2)，若a，b∈[-1，5]，且当x₁，x₂∈[a，b]时，(g(x1)−g(x2))/(x1−x2)＞0恒成立，则b-a的最大值为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Answer 1

∵a，b∈[-1，5]，且x₁，x₂∈[a，b]，
∴a＜b，
∵(g(x1)−g(x2))/(x1−x2)＞0恒成立，
∴g（x）在区间[a，b]上单调第增，
∵函数f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=(1)/(3)x+1，g（x）=(f1(x)+f2(x))/(2)+(|f1(x)−f2(x)|)/(2)，
∴g（x）=

f1(x)，x∈[−1，0]∪[3，5]

f2(x)，x∈[0，3]

当x∈[-1，0）时，g（x）=1-x，单调减；
当x∈[0，3]时，g（x）=(1)/(3)x+1，单调增；
当x∈[3，5]时，g（x）=x-1，单调递增．
∴a=0，b=5．
b-a的最大值为5-0=5．
故选：D．