(a^2-x^2)/(a^2+x^2)^2如何积分

Question

(a^2-x^2) / (a^2+x^2)^2 如何积分

Answer 1

把
a²-x²
--------
(a²+x²)²
分解成
2a²
------- -1/(a²+x²)
(a²+x²)²
令x=a tan θ,代入上式得(2cos⁴θ - cos²θ)/a²
∫（2cos⁴θ - cos²θ）dθ/ a²=∫（cos 2θ+cos²2θ)dθ/2a²
而∫（cos 2θ+cos²2θ)dθ=∫[cos 2θ+（1+cos 4θ）/2]dθ
=1/2 sin 2θ +1/2 θ +1/8 sin 4θ
故原式=1/2a²（1/2 sin 2θ + 1/2 θ + 1/8 sin 4θ）- 1/a arctan x/a
=1/4a² * 2xa/(x²+a²) + 1/4a² * arctan x/a + 1/16a²[8xa³/(x²+a²)²
- 4xa/(x²+a²)] - 1/a arctan x/a + C