1.设∫xf(x)dx=arctanx+c,求∫dx/f(x);2.设arctanx是f(x)的一个原函数,就∫xf'(x)dx尽快啊.谢

Question

1.设∫xf(x)dx=arctanx+c,求∫dx/f(x) ;2.设arctanx是f(x)的一个原函数,就∫xf'(x)dx
尽快啊.谢

Answer 1

1.∫xf(x)dx=arctanx+c
两边对x求导,xf(x) = 1/(1+x^2),x/f(x)=x^2(1+x^2)
∫dx/f(x) = ∫dx^2(1+x^2)=∫d(x^2+x^4)=x^2+x^4+C
2.∫xf'(x)dx = ∫xdf(x)=xf(x) - ∫f(x)dx
arctanx是f(x)的一个原函数,那么f(x)=(arctanx)'=1/(1+x^2)
∫f(x)dx = arctanx + C
∫xf'(x)dx = x/(1+x^2) + arctanx + C