设f（x，y）在点（0，0）处连续，且lim(x，y)→(0，0)f(x，y)−1ex2+y2−1=2，求∂f(0，0)∂x和∂f(0，0)∂y，并讨论f（x，y）在（0，0）处是否可微，若可微求出df（x，y）|（0，0）．

Question

设f（x，y）在点（0，0）处连续，且

lim

(x，y)→(0，0)

(f(x，y)−1)/(ex2+y2−1)=2，求(∂f(0，0))/(∂x)和(∂f(0，0))/(∂y)，并讨论f（x，y）在（0，0）处是否可微，若可微求出df（x，y）|_（0，0）．

Answer 1

解；∵x→0时，e^x～x
∴（x，y）→（0，0）时，ex2+y2～x²+y²
∴

lim

(x，y)→(0，0)

(f(x，y)−1)/(ex2+y2−1)=

lim

(x，y)→(0，0)

(f(x，y)−1)/(x2+y2)=2
又f（x，y）在点（0，0）处连续，因此由上面的极限，知f（0，0）=1
∴(∂f(0，0))/(∂x)=

lim

x→0

(f(x，0)−f(0，0))/(x−0)＝

lim

x→0

(f(x，0)−1)/(x)=

lim

x→0

(f(x，0)−f(0，0))/(x2)•x＝0
(∂f(0，0))/(∂y)=

lim

y→0

(f(0，y)−f(0，0))/(y−0)＝

lim

y→0

(f(0，y)−1)/(y)=

lim

y→0

(f(0，y)−f(0，0))/(y2)•y＝0
∴f(x，y)−f(0，0)−[(∂f(0，0))/(∂x)•x+(∂f(0，0))/(∂y)•y]=f（x，y）-1
而

lim

(x，y)→(0，0)

(f(x，y)−1)/(√(x2+y2))=

lim

(x，y)→(0，0)

(f(x，y)−1)/(x2+y2)•√(x2+y2)=2•0=0
∴由全微分的定义知，f（x，y）在（0，0）处可微
且df（x，y）|_（0，0）=(∂f(0，0))/(∂x)•x+(∂f(0，0))/(∂y)•y=0