设F(x)是f(x)的原函数,且当x>=0时,f(x)F(x)=x(e)^x/2(1+x)^2.已知F(0)=1,F(x)>0,求f(x)?最好是详细的过程,如果可以请把用的难点的公式也写上.非常感谢

Question

设F(x)是f(x)的原函数,且当x>=0时,f(x)F(x)=x(e)^x/2(1+x)^2.已知F(0)=1,F(x)>0,求f(x)?
最好是详细的过程,如果可以请把用的难点的公式也写上.非常感谢

Answer 1

由于F'(x)=f(x), 原来等式为2F(x)F'(x)=[xe^x]/[(1+x)^2],即{[F(x)]^2}'=[xe^x]/[(1+x)^2],
两边从0到x积分,得到[F(x)]^2=e^x/(x+1),由于F(x)>0,两边开平方,得F(x)=[e^(x/2)]/[(x+1)^(1/2)],
最后,f(x)={[xe^x]/[2(1+x)^2]}/F(x)=[xe^(x/2)]/[2(x+1)^(3/2)].