设f（x）连续，φ(x)＝∫10f(xt)dt，且limx→0f(x)x＝A（A为常数），求φ′（x）并讨论φ′（x）在x=0处的连续性．

Question

设f（x）连续，φ(x)＝

∫

1 0

f(xt)dt，且

lim

x→0

(f(x))/(x)＝A（A为常数），求φ′（x）并讨论φ′（x）在x=0处的连续性．

Answer 1

∵φ(x)

＝∫

1 0

f(xt)dt

令u＝xt

.

 (1)/(x)

∫

x 0

f(u)du，
∴φ′(x)＝(f(x))/(x)−(∫x0f(u)du)/(x2)（x≠0），
又由f（x）连续且

lim

x→0

(f(x))/(x)＝A（A为常数），
得：f（0）=0，f′（0）=A，
再在φ(x)

＝∫

1 0

f(xt)dt中，令x=0，得：φ（0）=0，
于是，
φ′(0)＝

lim

x→0

(φ(x))/(x)＝

lim

x→0

(∫x0f(u)du)/(x2)=

lim

x→0

(f(x))/(2x)＝(A)/(2)，
从而：
φ′(x)＝

(f(x))/(x)−(∫x0f(u)du)/(x2)	，x≠0
(A)/(2)	，x＝0

，
又

lim

x→0

φ′(x)＝

lim

x→0

[(f(x))/(x)−(∫x0f(u)du)/(x2)]=

lim

x→0

(f(x))/(x)−

lim

x→0

(∫x0f(u)du)/(x2)＝A−

lim

x→0

(f(x))/(2x)=A−(1)/(2)A＝(A)/(2)=φ′（0）
∴φ′（x）在x=0处连续