已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(xex−2e

Question

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2((x)/(ex)−(2)/(e))成立．

Answer 1

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x＝(1)/(e)．
当x∈(0，(1)/(e))时，f′（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈((1)/(e)，+∞)时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
故当x=(1)/(e)时，函数f（x）取得极小值即最小值为−(2)/(e)．
（II）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．
⇔a≥2lnx+x+(3)/(x)存在x∈（0，+∞）能成立，⇔a≥(2lnx+x+(3)/(x))min．
令h(x)＝2lnx+x+(3)/(x)，则h′(x)＝(2)/(x)+1−(3)/(x2)=((x+3)(x−1))/(x2)．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增．
∴当x=1时，h（x）取得最小值4．因此a≥4．
（III）令u(x)＝2((x)/(ex)−(2)/(e))，则u′（x）=(2(1−x))/(ex)．
令u′（x）=0，解得x=1；当x∈（0，1）时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，u′（x）＜0，函数u（x）单调递减．
∴当x=1时，函数u（x）取得最大值−(2)/(e)．
故对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2((x)/(ex)−(2)/(e))成立．