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设函数U(x,y)满足Uxx-Uyy=0与U(x,2x)=x,Ux(x,2x)=x^2,求Uxx(x,2x),Uxy(x,2x),Uyy(x,2x)
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设函数U(x,y)满足Uxx-Uyy=0与U(x,2x)=x,Ux(x,2x)=x^2,求Uxx(x,2x),Uxy(x,2x),Uyy(x,2x)
▼优质解答
答案和解析
由
对U(x,2x)=x,求导得
Ux(x,2x)+2Uy(x,2x)=1,
又
Ux(x,2x)=x^2…(1)
得
Uy(x,2x)=(1-x^2)/2…(2)
(1)(2)式分别对x求导
得两式
Uxy(x,2x)+2Uyy(x,2x)=-x...(3)
Uxx(x,2x)+2Uxy(x,2x)=2x...(4)
再和Uxx-Uyy=0联立
解得
Uxx=Uyy=-4/3x
Uxy=5/3x
对U(x,2x)=x,求导得
Ux(x,2x)+2Uy(x,2x)=1,
又
Ux(x,2x)=x^2…(1)
得
Uy(x,2x)=(1-x^2)/2…(2)
(1)(2)式分别对x求导
得两式
Uxy(x,2x)+2Uyy(x,2x)=-x...(3)
Uxx(x,2x)+2Uxy(x,2x)=2x...(4)
再和Uxx-Uyy=0联立
解得
Uxx=Uyy=-4/3x
Uxy=5/3x
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