设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，若|2z-m|=52（m∈R），求z和m的值．

Question

设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，若|√(2)z-m|=5√(2) （m∈R），求z和m的值．

Answer 1

设z=x+yi（x，y∈R），由|z|=5，得x²+y²=25 （2分）
（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i（3分）
又因为（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限平分线上，
所以，（3x-4y）+（4x+3y）=0，得y=7x，
由

y＝7x

x2+y2＝25

⇒

x＝(√(2))/(2)

y＝(7√(2))/(2)

或

x＝−(√(2))/(2)

y＝−(7√(2))/(2)

即z＝(√(2))/(2)+(7√(2))/(2)i或z＝−(√(2))/(2)−(7√(2))/(2)i （7分）
当z＝(√(2))/(2)+(7√(2))/(2)i时，由|√(2)z−m|＝5√(2)
即|1+7i-m|=5√(2)，得m=0或m=2 （9分）
当z＝−(√(2))/(2)−(7√(2))/(2)i时，由|√(2)z−m|＝5√(2)
即|-1-7i-m|=5√(2)，得m=0或m=-2 （12分）