已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是．

Question

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=3，则xyz的最大值是______．

Answer 1

∵x+y+z=1①，x²+y²+z²=3②
∴①²-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z²-z-1
∵x²+y²=3-z²≥2xy=2（z²-z-1）⇒3z²-2z-5≤0⇒-1≤z≤(5)/(3)
令f（z）=xyz=z³-z²-z，则f′（z）=3z²-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜−(1)/(3)，
∴f（z）在区间[-1，-(1)/(3)]单调递增，在[-(1)/(3)，1]单调递减，在[1，(5)/(3)]单调递增，
当z=-(1)/(3)时，xyz的值为(5)/(27)，当z=(5)/(3)时，xyz的值为(5)/(27)，
∴xyz的最大值为(5)/(27)．
故答案为：(5)/(27)．