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求函数f=x^2+y^2+z^2在ax+by+cz=1的最小值
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求函数f=x^2+y^2+z^2在ax+by+cz=1的最小值
▼优质解答
答案和解析
用拉格朗日数乘法
设L(λ)=x^2+y^2+z^2+λ(ax+by+cz-1)
L'(x)=2x+aλ=0
L'(y)=2y+bλ=0
L'(z)=2z+cλ=0
=>x=-aλ/2,y=-bλ/2,c=-cλ/2带入直线中得
-a^2*λ/2-b^2*λ/2-c^2*λ/2=1=>λ=-2/(a^2+b^2+c^2)
=>L(λ)=x^2+y^2+z^2+λ(ax+by+cz-1)
=(a^2+b^2+c^2)λ^2/4+λ*0
=(a^2+b^2+c^2)[-2/(a^2+b^2+c^2)]^2/4
=1/(a^2+b^2+c^2)
1/(a^2+b^2+c^2)即为最小值
设L(λ)=x^2+y^2+z^2+λ(ax+by+cz-1)
L'(x)=2x+aλ=0
L'(y)=2y+bλ=0
L'(z)=2z+cλ=0
=>x=-aλ/2,y=-bλ/2,c=-cλ/2带入直线中得
-a^2*λ/2-b^2*λ/2-c^2*λ/2=1=>λ=-2/(a^2+b^2+c^2)
=>L(λ)=x^2+y^2+z^2+λ(ax+by+cz-1)
=(a^2+b^2+c^2)λ^2/4+λ*0
=(a^2+b^2+c^2)[-2/(a^2+b^2+c^2)]^2/4
=1/(a^2+b^2+c^2)
1/(a^2+b^2+c^2)即为最小值
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