已知0≤x,y,z≤1,且绝对值x-y,y-z,z-x均不大于1/2,试求S=x+y+z-xy-yz-zx的最大值

Question

已知0≤x,y,z≤1,且绝对值x-y,y-z,z-x均不大于1/2,试求S=x+y+z-xy-yz-zx的最大值

Answer 1

S=x+y+z-xy-yz-zx
=x+y+z-xy-yz-xz+x^2+y^2+z^2-(x^2+y^2+z^2)
=x+y+z-(x^2+y^2+z^2)+[-2xy-2yz-2xz+2x^2+2y^2+2z^2]/2
=-[(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2]+3/4+[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]/2
因为x,y,z都在0和1之间,|x-1/2|,|y-1/2|,|z-1/2|都会小于1/2,它们的平方都会在0和1/4之间.而且|x-y|,|y-z|,|x-z|小于1/2,故它们的平方也在0和1/4之间.
将最后化简的S分成三部分,如果第一部分取到最大值,则其“中括号里面”要去到最小值,利用“均值不等式”可得此时必须有x=y=z,代入题目中的S表达式可得S=0.
如果第三部分取到最大值,则会有x,y,z两两相差1/2,x,y,x只能取0,1/2,1三个数,并且不能相等,所以不妨取x=1,y=0,z=1/2.则代入题目中的表达式可得S=1.
综合两种情况比较,最大值S=1.