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四边形ABCD是正方形,P为BC上任一点,角PAD的平分线交CD于Q.求证:DQ等于AP减BP
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四边形ABCD是正方形,P为BC上任一点,角PAD的平分线交CD于Q.求证:DQ等于AP减BP
▼优质解答
答案和解析
⑴ 坐标法证明
如图,取坐标系A﹙00﹚,B﹙10﹚ D﹙01﹚ 设Q﹙a,1﹚,则tanα＝a,
tan∠PAD＝tan2α＝﹙2a﹚/﹙1-a²﹚ tan∠PAB＝cot2α＝﹙1-a²﹚/﹙2a﹚
P﹙1,﹙1-a²﹚/﹙2a﹚﹚
DQ+BP＝a+﹙1-a²﹚/﹙2a﹚＝﹙1+a²﹚/﹙2a﹚
AP＝√[1²+﹙﹙1-a²﹚/﹙2a﹚﹚²]＝﹙1+a²﹚/﹙2a﹚＝DQ+BP
⑵ 几何证明
⊿ABP绕A逆时针旋转90º,到达⊿ADG,
∠GAQ＝∠GAD+∠DAQ＝∠PAB+∠QAP＝∠QAB＝∠GQA
∴AP＝AG＝GQ＝GD+DQ＝BP+DQ.
如图,取坐标系A﹙00﹚,B﹙10﹚ D﹙01﹚ 设Q﹙a,1﹚,则tanα＝a,
tan∠PAD＝tan2α＝﹙2a﹚/﹙1-a²﹚ tan∠PAB＝cot2α＝﹙1-a²﹚/﹙2a﹚
P﹙1,﹙1-a²﹚/﹙2a﹚﹚
DQ+BP＝a+﹙1-a²﹚/﹙2a﹚＝﹙1+a²﹚/﹙2a﹚
AP＝√[1²+﹙﹙1-a²﹚/﹙2a﹚﹚²]＝﹙1+a²﹚/﹙2a﹚＝DQ+BP
⑵ 几何证明
⊿ABP绕A逆时针旋转90º,到达⊿ADG,
∠GAQ＝∠GAD+∠DAQ＝∠PAB+∠QAP＝∠QAB＝∠GQA
∴AP＝AG＝GQ＝GD+DQ＝BP+DQ.
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