四边形ABCD是正方形,P为BC上任一点,角PAD的平分线交CD于Q.求证:DQ等于AP减BP

Question

四边形ABCD是正方形,P为BC上任一点,角PAD的平分线交CD于Q.求证:DQ等于AP减BP

Answer 1

⑴ 坐标法证明
如图,取坐标系A﹙00﹚,B﹙10﹚ D﹙01﹚ 设Q﹙a,1﹚,则tanα＝a,
 tan∠PAD＝tan2α＝﹙2a﹚/﹙1-a²﹚ tan∠PAB＝cot2α＝﹙1-a²﹚/﹙2a﹚ 
P﹙1,﹙1-a²﹚/﹙2a﹚﹚
DQ+BP＝a+﹙1-a²﹚/﹙2a﹚＝﹙1+a²﹚/﹙2a﹚
AP＝√[1²+﹙﹙1-a²﹚/﹙2a﹚﹚²]＝﹙1+a²﹚/﹙2a﹚＝DQ+BP 
⑵ 几何证明
⊿ABP绕A逆时针旋转90º,到达⊿ADG,
∠GAQ＝∠GAD+∠DAQ＝∠PAB+∠QAP＝∠QAB＝∠GQA
∴AP＝AG＝GQ＝GD+DQ＝BP+DQ.