若二次方程x2+2px+2q=0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．

Question

若二次方程x²+2px+2q=0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．

Answer 1

①首先，方程的根不可能是奇数；若x为奇数，则x²为奇数，而2px+2q 是偶数，因此x²+2px+2q取奇数值，不可能是0；
②其次，方程的根不可能是偶数；若x为偶数，则x²+2px能被4整除，而这时常数项2q被4除时余2，因此不能满足x²+2px+2q≠0；
③最后，方程的根不可能是分数；若x为分数，则x+p也是分数，而方程可以变为（x+p）²=p²-2q，等号右端的p²-2q是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！
综上可知，当p，q是两个奇数时，方程x²+2px+2q=0不可能有有理根，
即此方程的根是无理数．