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在数轴上,点A,O,B分别表示-16,0,14,点P,Q分别从点A,B同时开始沿数轴正方向运动,点P的速度是每秒3个单位,点Q的速度是每秒1个单位,运动时间为t秒.若点P,Q,O三点在运动过程中
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在数轴上,点A,O,B分别表示-16,0,14,点P,Q分别从点A,B同时开始沿数轴正方向运动,点P的速度是每秒3个单位,点Q的速度是每秒1个单位,运动时间为t秒.若点P,Q,O三点在运动过程中,其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分,则运动时间为___秒.
▼优质解答
答案和解析
设运动的时间为t(t>0),则点P表示3t-16,点Q表示t+14,
①当点O在线段AB上时,如图1所示.
此时3t-16<0,即t<
.
∵点O是线段PQ的三等分点,
∴PO=2OQ或2PO=OQ,
即16-3t=2(t+14)或2(16-3t)=t+14,
解得:t=-
(舍去),或t=
;
②当点P在线段OQ上时,如图2所示.
此时0<3t-16<t+14,即
<t<15.
∵点P是线段OQ的三等分点,
∴2OP=PQ或OP=2PQ,
即2(3t-16)=t+14-(3t-16)或3t-16=2[t+14-(3t-16)],
解得:t=
,或t=
;
③当点Q在线段OP上时,如图3所示.
此时t+14<3t-16,即t>15.
∵点Q是线段OP的三等分点,
∴OQ=2QP或2OQ=QP,
即t+14=2[3t-16-(t+14)]或2(t+14)=3t-16-(t+14),
解得:t=
,或无解.
综上可知:点P,Q,O三点在运动过程中,其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分,则运动时间为
、
、
或
秒.
故答案为:
、
、
或
.
①当点O在线段AB上时,如图1所示.

此时3t-16<0,即t<
16 |
3 |
∵点O是线段PQ的三等分点,
∴PO=2OQ或2PO=OQ,
即16-3t=2(t+14)或2(16-3t)=t+14,
解得:t=-
12 |
5 |
18 |
7 |
②当点P在线段OQ上时,如图2所示.

此时0<3t-16<t+14,即
16 |
3 |
∵点P是线段OQ的三等分点,
∴2OP=PQ或OP=2PQ,
即2(3t-16)=t+14-(3t-16)或3t-16=2[t+14-(3t-16)],
解得:t=
31 |
4 |
76 |
7 |
③当点Q在线段OP上时,如图3所示.

此时t+14<3t-16,即t>15.
∵点Q是线段OP的三等分点,
∴OQ=2QP或2OQ=QP,
即t+14=2[3t-16-(t+14)]或2(t+14)=3t-16-(t+14),
解得:t=
74 |
3 |
综上可知:点P,Q,O三点在运动过程中,其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分,则运动时间为
18 |
7 |
31 |
4 |
76 |
7 |
74 |
3 |
故答案为:
18 |
7 |
31 |
4 |
76 |
7 |
74 |
3 |
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