若直线l与椭圆c:3分之x平方y平方=1交于a、b两点,坐标原点o到直线l的距离为2分之根号3,求三角形aob面积的最大值

Question

若直线l与椭圆c:3分之x平方 y平方=1交于a、b两点,坐标原点o到直线l的距离为2分之根号3,求三角形aob面积的最大值

Answer 1

设AB方程为：y=kx+b,原点至AB距离d=|0-0+b)/√（1+k^2)=|b|/√（1+k^2)=√3/2,
b^2=3(1+k^2)/4,(1)
x^2/3+(kx+b)^2=1,
(1+3k^2)x^2+6bkx+3b^2-3=0,
根据韦达定理,
x1+x2=-6bk/(1+3k^2),
x1x2=3(b^2-1)/(1+3k^2)
设|AB|=d,
根据弦长公式,
d=√（1+k^2)(x1-x2)^2
=√（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√[12（1+3k^2)(3k^2-b^2+1)/(1+3k^2)^2]
由（1）式代入,
d=(1/1+3k^2)√（27k^2+3)(1+k^2),
设t=k^2,
两边平方,
9(3-d^2)t^2+6(5-d^2)t+3-d^2=0,
要使t有实数根,则判别式△≥0,
（30-6d^2)^2-4(27-9d^2)(3-d^2)≥0,
(48-12d^2)*12≥0,
d^2≤4/3,
d≤2√3/3,
∴|AB|(max)=2√3/3,
对于△AOB,高为√3/2不变,当底边AB最大时,则S△AOB最大,
∴S△AOB=|AB|*h/2=(2√3/3)*(√3/2)/2=1/2.