高等数学证明题设有一根长为l的铁丝,将其分成两段,分别构成圆形和正方形,若记圆形面积为S1,正方形面积为S2,证明：S1+S2为最小时,S1/S2=∏/4

Question

高等数学证明题
设有一根长为l的铁丝,将其分成两段,分别构成圆形和正方形,若记圆形面积为S1,正方形面积为S2,证明：S1+S2为最小时,S1/S2=∏/4

Answer 1

证明：
设将铁丝分成两段的长分别为x和l-x
长为x的铁丝构成圆
长为l-x的铁丝构成正方形
则
S1=π(x/2π)^2
S2=[(l-x)/4]^2
S1/S2=(x^2/4π)/[(l-x)^2/16]=4x^2/π(l-x)^2=(4/π)[x/(l-x)]^2
令f(x)=S1+S2
=π(x/2π)^2+[(l-x)/4]^2
=x^2/4π+(l-x)^2/16
令f'(x)=x/2π-(l-x)/8=0
解得
唯一驻点x=πl/(π+4)
f''(x)=1/2π+1/8>0
故x=πl/(π+4)为f(x)的最小值点
此时S1/S2=(4/π){[πl/(π+4)]/[l-πl/(π+4)]}^2
=(4/π)(π/4)^2=π/4
证毕