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(2014•陕西)如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是4242.
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▼优质解答
答案和解析
过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,如图,
∵∠AMB=45°,
∴∠AOB=2∠AMB=90°,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=
OA=2
,
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,
∴当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,
即M点运动到D点,N点运动到E点,
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=
AB•CD+
AB•CE=
AB(CD+CE)=
AB•DE=
×2
×4=4
.
故答案为:4
.

∵∠AMB=45°,
∴∠AOB=2∠AMB=90°,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=
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∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,
∴当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,
即M点运动到D点,N点运动到E点,
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=
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故答案为:4
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