已知关于x的方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0.（1）求证,无论k取何值,这个方程总有实数根(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数?若能找到,求出k的值;若不能,说明理由(3)当等腰三角形ABC的

Question

已知关于x的方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0.
（1）求证,无论k取何值,这个方程总有实数根
(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数?若能找到,求出k的值;若不能,说明理由
(3)当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b,c恰好是这个方程的两根时,求三角形ABC的周长

Answer 1

（1） Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)
=(2k-3)^2
≥0
所以无论k取何值,这个方程总有实数根
(2)两实数x1,x2互为相反数
则x1+x2=0
韦达定理：x1+x2=-[-(2k+1)]=2k+1=0
k=-1/2
(3)等腰三角形ABC的边长a=4
若b=a=4或c=a=4
代入方程：16－4（2k+1）+4(k-1/2)=0
解得：k=5/2
方程为x^2－6x+8=0.
解得c=2或b=2
三角形ABC的周长=4+4+2=10
若b=c
方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0有两相等的实数根b,c
Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)＝0
解得：k=3/2
方程为x^2－4x+4=0
解得b=c=2
三角形ABC的周长=4+2+2=8