在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N个人的血，可以用两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需N次．（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽出来的血混在一起进

Question

在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N个人的血，可以用两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需N次．（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽出来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血液都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验．这样，这k个人的血总共要化验k+1次．假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的．
（Ⅰ）设以k个人为一组时，记这k个人总的化验次数为X，求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）设以k个人为一组，从每个人平均需化验的次数的角度说明，若p=0.1，选择适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明k取什么值时最适宜．（取ln0.9=-0.105）

Answer 1

（Ⅰ）k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为（1-p）^k，呈阳性结果的概率为1-（1-p）^k．

X	1	k+1
P	（1-p）k	1-（1-p）k

∴EX=k[1-（1-p）^k]+1                       …（6分）
（Ⅱ）由题意，f（k）=1-0.9^k+(1)/(k)小于1且取得最小值时，就能得到最好的分组方法．
∵f′（3）=-0.035＜0，f′（4）=0.006＞0
且f（3）＞f（4），∴k=4最适宜                                           …（12分）