无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为．

Question

无穷数列{a_n}由k个不同的数组成，S_n为{a_n}的前n项和，若对任意n∈N^*，S_n∈{2，3}，则k的最大值为___．

Answer 1

对任意n∈N^*，S_n∈{2，3}，可得
当n=1时，a₁=S₁=2或3；
若n=2，由S₂∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，-1；
若n=3，由S₃∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；
或2，1，0；或2，1，-1；或3，0，0；或3，0，-1；或3，1，0；或3，1，-1；
若n=4，由S₃∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；
或2，0，1，0；或2，0，1，-1；或2，1，0，0；或2，1，0，-1；
或2，1，-1，0；或2，1，-1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，-1；
或3，0，-1，0；或3，0，-1，1；或3，-1，0，0；或3，-1，0，1；
或3，-1，1，0；或3，-1，1，-1；
…
即有n>4后一项都为0或1或-1，则k的最大个数为4，
不同的四个数均为2，0，1，-1，或3，0，1，-1．
故答案为：4．