讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数．

Question

讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln⁴x的交点个数．

Answer 1

设：φ（x）=ln⁴x-4lnx+4x-k（x＞0），
则有：φ′(x)＝(4(ln3x−1+x))/(x)，
从而：

φ′(x)＜0	当0＜x＜1
φ′(x)＝0	当x＝1
φ′(x)＞0	当1＜x

，
即：φ（x）在开区间（0，1）内是单调递减的，在当区间（1，+∞）是单调递增的，
∴函数φ（x）在x=1处取得最小值，最小值为：φ（1）=4-k，
从而：对于任意的x＞0，函数φ（x）≥φ（1），
于是，函数φ（x）的图形与参数k有关系，主要情况有如下三种，对应的图形如右所示：
①当φ（1）＞0，即k＜4时，
对任意的x，φ（x）≥φ（1）＞0，此时函数φ（x）与x坐标轴无交点，
即两条曲线无交点；
②当φ（1）=0，即k=4时，
由φ（x）的单调性，得：函数φ（x）与x坐标轴交于点（1，0），
即两条曲线只有一个交点；
③当φ（1）＜0，即k＞4时，
由于：

lim

x→0+

φ(x)＝

lim

x→0+

[lnx(ln3x−4)+4x−k]＝+∞，

lim

x→+∞

φ(x)＝

lim

x→+∞

[lnx(ln3x−4)+4x−k]＝+∞，
∴φ（x）=0有两个实根，分别位于区间（0，1）与（1，+∞）内，
即这两条曲线有两个交点．