一道有关虚数的化简题Z=2+3i是多项式z^4-5z^3+18z^2-17z+13=0的一个根,请求出此多项式的另外三个根.谢谢!

Question

一道有关虚数的化简题
Z=2+3i 是多项式 z^4-5z^3+18z^2-17z+13=0 的一个根,请求出此多项式的另外三个根.
谢谢!

Answer 1

因为 z^4-5z^3+18z^2-17z+13=0 是一个实系数方程.
且z=2+3i是一个根,所以z=2-3i一定也是一个根.
所以(z-2-3i)(z-2+3i)=z^2-4z+13
一定是z^4-5z^3+18z^2-17z+13的一个因式.
可利用长除法因式分解,得：
z^4-5z^3+18z^2-17z+13=(z^2-4z+13)(z^2-z+1)
所以,另外两根为(1+i根号3)/2,(1-i根号3)/2
(1+i根号3)/2,(1-i根号3)/2,2-3i