如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．试说明：（1）1a2+1b2=1h2；（2）a+b＜c+h；（3）判断以a+b、h、c+h为边的三角形的形状，并说明理由．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．
试说明：（1）(1)/(a2)+(1)/(b2)=(1)/(h2)；（2）a+b＜c+h；（3）判断以a+b、h、c+h为边的三角形的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵Rt△ABC的面积为：(1)/(2)ab或(1)/(2)ch，
∴ab=ch，（ab）²=（ch）²，即a²b²=c²h²，
∵a²+b²=c²，
∴a²b²=（a²+b²）h²，
∴(a2b2)/(a2+b2)=h²，
∴(a2+b2)/(a2b2)=(1)/(h2)，
∴(a2)/(a2b2)+(b2)/(a2b2)=(1)/(h2)，
∴(1)/(a2)+(1)/(b2)=(1)/(h2)；

（2）证明：∵c²＜c²+h²，a²+b²=c²，
∴a²+b²＜c²+h²，
∵ab=ch
∴a²+b²+2ab＜c²+h²+2ch，
∴（a+b）²＜（c+h）²，
∴a+b＜c+h

（3）是直角三角形．
证明：∵（c+h）²=c²+2ch+h²，
h²+（a+b）²=h²+a²+2ab+b²，
∵a²+b²=c²，（勾股定理）
ab=ch（面积公式推导）
∴c²+2ch+h²=h²+a²+2ab+b²，
∴（c+h）²=h²+（a+b）²，
∴根据勾股定理的逆定理知道
以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形