设有一高度为h（t）（t为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程z＝h(t)−2(x2+y2)h(t)（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问

Question

设有一高度为h（t）（t为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程z＝h(t)−(2(x2+y2))/(h(t))（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

Answer 1

解  （1）设t时刻雪堆的体积为V[h（t）]，侧面积为S[h（t）]（雪堆体积和侧面积首先是关于高度h的函数，而高度h又是关于时间t的函数）．
由“体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9）”建立方程：(dv[h(t)])/(dt)＝−0.9S[h(t)]…①
以下为了书写的简单，有些时候会将h（t）写成h．
（2）下面求V（h）和S（h）．
由z＝h−(2(x2+y2))/(h)知，在t时刻雪球是一向下的旋转抛物面，且可以看成是由xoz面上的z＝h−(2x2)/(h)绕z轴旋转一周得到的，
于是
由旋转体体积公式得：V（h）=

∫

h 0

πx2(z)dz＝

π∫

h 0

(h2−hz)/(2)dz＝(πh3)/(4)
由旋转曲面的侧面积公式得：S（h）=2

π∫

h 0

x(z)√(1+x′2(z))dz=

∫

h 0

√((h(h−z))/(2))•√(1+(h)/(8(h−z)))dz=(π√(h))/(2)

∫

h 0

√(9h−8z)dz＝(13)/(12)πh2
∴将V（h）、S（h）代回方程①得：
(dV)/(dt)＝(dV)/(dh)•(dh)/(dt)＝(3)/(4)πh2•(dh)/(dt)＝−0.9•(13)/(12)πh2
∴(dh)/(dt)＝−1.3
∴h（t）=C-1.3t
又C=h（0）=130
∴h（t）=130-1.3t
令h（t）=0，则t=100
因此，高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时．