若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为．

Question

若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

由x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0得x+a（y-2ex）ln(y)/(x)=0，
即1+a（(y)/(x)-2e）ln(y)/(x)=0，
即设t=(y)/(x)，则t>0，
则条件等价为1+a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=-(1)/(a)有解，
设g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-(2e)/(t)为增函数，
∵g′（e）=lne+1-(2e)/(e)=1+1-2=0，
∴当t>e时，g′（t）>0，
当0<t<e时，g′（t）<0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=-(1)/(a)有解，
则-(1)/(a)≥-e，即(1)/(a)≤e，
则a<0或a≥(1)/(e)，
故答案为：a<0或a≥(1)/(e)．