∫xe^xdx√(e^x-2)求不定积分

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∵∫［xe^x/√（e^x－2）］dx
＝∫x［1/√（e^x－2）］d（e^x－2）
＝2∫xd［√（e^x－2）］
＝2x√（e^x－2）－2∫√（e^x－2）dx.
∴令√（e^x－2）＝u,则：x＝ln（2＋u^2）,∴dx＝2［u/（2＋u^2）］du.
∴∫［xe^x/√（e^x－2）］dx
＝2x√（e^x－2）－2∫u·2［u/（2＋u^2）］du
＝2x√（e^x－2）－4∫｛［（2＋u^2）－2］/（2＋u^2）｝du
＝2x√（e^x－2）－4∫du＋8∫［1/（2＋u^2）］du
＝2x√（e^x－2）－4u＋8∫［1/（2＋u^2）］du
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋8∫［1/（2＋u^2）］du.
再令u＝√2t,则：t＝u/√2,du＝√2dt.
∴∫［xe^x/√（e^x－2）］dx
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋8√2∫［1/（2＋2t^2）］dt
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋4√2∫［1/（1＋t^2）］dt
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋4√2arctant＋C
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋4√2arctan（u/√2）＋C
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋4√2arctan√［（1/2）e^x－1］＋C.

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