已知：如图，矩形ABCD中，点E、F分别在DC，AB边上，且点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，设BC=x，AF=y．（1）求证：∠CAB=∠CEG；（2）①求y与x之

Question

已知：如图，矩形ABCD中，点E、F分别在DC，AB边上，且点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，设BC=x，AF=y．
（1）求证：∠CAB=∠CEG；
（2）①求y与x之间的函数关系式． ②x=

3√(2)

3√(2)

时，点F是AB的中点；
（3）当x为何值时，点F是

AC

的中点，以A、E、C、F为顶点的四边形是何种特殊四边形？试说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接EF（如图1）
∵点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，
∴EF=EC，∵EG⊥CF，∴∠CEF=2∠CEG
∵∠CEF=2∠CAB，∴∠CAB=∠CEG；（3分）

（2）（如图2）
①连接EF、EA．设⊙E的半径为r；
在Rt△ADE中，EA=r，DE=6-r，AD=x，
∴x²+（6-r）²=r²，r=(1)/(12)x²+3，
∵EF=EA，∴AF=2DE，
即y=2（6-r）=-(1)/(6)x²+6，（6分）
②点F是AB的中点时，y=3，
即-(1)/(6)x²+6=3，∴x=3√(2)；（8分）

（3）（如图3）；
当x=2√(3)时，F是弧AC的中点．此时四边形AECF菱形；（9分）
理由如下：
∵点F是弧AC的中点，∴∠AEF=∠CEF，AF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AE=EF，
∴AE=AF=CE=CF，∴△AEF和△CEF都是正三角形，
∴四边形AECF是菱形，且∠CEF=60°，
∴∠BCF=30°，∴BF=(1)/(2)CF=(1)/(2)AF=(1)/(3)AB=2，BC=2√(3)．（12分）