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定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件:①存在常数a(0<a<1),使得f(a)=1;②对任意实数m,当x∈R+时,有f(xm)=mf(x).(1)求证:对于任意正数x,y,f(xy)=f(x)+f(y);
题目详情
定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件:
①存在常数a(0<a<1),使得f(a)=1;②对任意实数m,当x∈R+时,有f(xm)=mf(x).
(1)求证:对于任意正数x,y,f(xy)=f(x)+f(y);
(2)证明:f(x)在正实数集上单调递减;
(3)若不等式f(loga2(4-x)+2)-f(loga(4-x)8)≤3恒成立,求实数a的取值范围.
①存在常数a(0<a<1),使得f(a)=1;②对任意实数m,当x∈R+时,有f(xm)=mf(x).
(1)求证:对于任意正数x,y,f(xy)=f(x)+f(y);
(2)证明:f(x)在正实数集上单调递减;
(3)若不等式f(loga2(4-x)+2)-f(loga(4-x)8)≤3恒成立,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵x,y均为正数,且0<a<1,根据指数函数性质可知,总有实数m,n使得x=am,y=an,
于是f(xy)=f(aman)=f(am+n)=(m+n)f(a)=m+n,…(2分)
又f(x)+f(y)=f(am)+f(an)=mf(a)+nf(a)=m+n,∴f(xy)=f(x)+f(y)(5分)
(2)证明:任设x1,x2∈R+,x1>x2,可令x1=x2t(t>1),t=aα(α<0)…(7分)
则由(1)知f(x1)-f(x2)=f(x2t)-f(x2)=f(x2)+f(t)-f(x2)=f(t)=f(aα)=αf(a)=α<0,
即f(x1)<f(x2).∴f(x)在正实数集上单调递减;
(3)令loga(4-x)=t,原不等式化为f(t2+2)-f(8t)≤3,其中t>0.∵f(x)-f(y)=f(x)+f(y-1)=f(
)且f(a)=1(0<a<1),
不等式可进一步化为f(
)≤f(a3),….(12分)
又由于单调递减,∴
≥a3对于t>0恒成立.…(13分)
而
=
((
−
)2+2
)≥
,
且当t=
时(
)min=
于是f(xy)=f(aman)=f(am+n)=(m+n)f(a)=m+n,…(2分)
又f(x)+f(y)=f(am)+f(an)=mf(a)+nf(a)=m+n,∴f(xy)=f(x)+f(y)(5分)
(2)证明:任设x1,x2∈R+,x1>x2,可令x1=x2t(t>1),t=aα(α<0)…(7分)
则由(1)知f(x1)-f(x2)=f(x2t)-f(x2)=f(x2)+f(t)-f(x2)=f(t)=f(aα)=αf(a)=α<0,
即f(x1)<f(x2).∴f(x)在正实数集上单调递减;
(3)令loga(4-x)=t,原不等式化为f(t2+2)-f(8t)≤3,其中t>0.∵f(x)-f(y)=f(x)+f(y-1)=f(
x |
y |
不等式可进一步化为f(
t2+2 |
8t |
又由于单调递减,∴
t2+2 |
8t |
而
t2+2 |
8t |
1 |
8 |
t |
|
2 |
1 | ||
2
|
且当t=
2 |
t2+2 |
8t |
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