f(x)有二阶连续导数,f(x)=sinx-[(x-t)f(t)dt在0到x上的积分],求f(x)……急…

Question

f(x)有二阶连续导数,f(x)=sinx-[(x-t)f(t)dt在0到x上的积分],求f(x)……急…

Answer 1

你求两次导数,可以得到一个二阶微分方程.没时间啦.
f(x)=sinx-∫[0,x][(x-t)f(t)dt,所以：f'(x)={sinx-x∫[0,x]f(t)dt+∫[0,x]tf(t)dt}'
=cosx-∫[0,x]f(t)dt-xf(x)+xf(x) = cosx-∫[0,x]f(t)dt
f''(x)=-sinx-f(x).或：f''(x)+f(x)=-sinx,这是二阶微分方程
齐方程的通解为：f(x)=C1cosx+C2sinx,因为1是特征根,故设特解形式为：Y=x(Acosx+Bsinx)
代入求得：A=1/2,B=0,所以：f(x)=C1cosx+C2sinx+xcosx/2
因为：f(0)=0,f'(0)=1,求得：C1=1 C2=1/2
故：f(x)=cosx+sinx/2+xcosx/2