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在数字1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列A:a1,a2,…,an中,如果对于i,j∈N*,i<j,有ai>aj,那么就称(ai,aj)为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为S(A).如n=4时,在排列B:3
题目详情
在数字1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列A:a1,a2,…,an中,如果对于i,j∈N*,i<j,有ai>aj,那么就称(ai,aj)为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为S(A).
如n=4时,在排列B:3,2,4,1中,逆序对有(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),则S(B)=4.
(Ⅰ)设排列 C:3,5,6,4,1,2,写出S(C)的值;
(Ⅱ)对于数字1,2,…,n的一切排列A,求所有S(A)的算术平均值;
(Ⅲ)如果把排列A:a1,a2,…,an中两个数字ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列A':b1,b2,…,bn,求证:S(A)+S(A')为奇数.
如n=4时,在排列B:3,2,4,1中,逆序对有(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),则S(B)=4.
(Ⅰ)设排列 C:3,5,6,4,1,2,写出S(C)的值;
(Ⅱ)对于数字1,2,…,n的一切排列A,求所有S(A)的算术平均值;
(Ⅲ)如果把排列A:a1,a2,…,an中两个数字ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列A':b1,b2,…,bn,求证:S(A)+S(A')为奇数.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)逆序对有(3,1),(3,2),(5,4),(5,1),(5,2),(4,1),(4,2),
(6,4),(6,1),(6,2)则S(C)=10;
(Ⅱ)考察排列D:d1,d2,…,dn-1,dn与排列D1:dn,dn-1,…,d2,d1,
因为数对(di,dj)与(dj,di)中必有一个为逆序对(其中1≤i且排列D中数对(di,dj)共有
=
个,
所以S(D)+S(D1)=
.
所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为
.
而对于数字1,2,…,n的任意一个排列A:a1,a2,…,an,
都可以构造排列A1:an,an-1,…,a2,a1,
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为
.
所以所有S(A)的算术平均值为
.
(Ⅲ)证明:(1)当j=i+1,即ai,aj相邻时,
不妨设ai<ai+1,则排列A'为a1,a2,…,ai-1,ai+1,ai,ai+2,…,an,
此时排列A'与排列A:a1,a2,…,an相比,仅多了一个逆序对(ai+1,ai),
所以S(A')=S(A)+1,
所以S(A)+S(A')=2S(A)+1为奇数.
(2)当j≠i+1,即ai,aj不相邻时,
假设ai,aj之间有m个数字,记排列A:a1,a2,…,ai,k1,k2,…km,aj,…,an,
先将ai向右移动一个位置,得到排列A1:a1,a2,…,ai-1,k1,ai,k2,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A1)与S(A)的奇偶性不同,
再将ai向右移动一个位置,得到排列A2:a1,a2,…,ai-1,k1,k2,ai,k3,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A2)与S(A1)的奇偶性不同,
以此类推,ai共向右移动m次,得到排列Am:a1,a2,…,k1,k2,…,km,ai,aj,…,an,
再将aj向左移动一个位置,得到排列Am+1:a1,a2,…,ai-1,k1,…,km,aj,ai,…,an,
以此类推,aj共向左移动m+1次,得到排列A2m+1:a1,a2,…,aj,k1,…,km,ai,…,an,
即为排列A',
由(1)可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇偶性发生变化,
而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置,可以得到排列A',
所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同,
所以S(A)+S(A')为奇数.
综上,得S(A)+S(A')为奇数.
(6,4),(6,1),(6,2)则S(C)=10;
(Ⅱ)考察排列D:d1,d2,…,dn-1,dn与排列D1:dn,dn-1,…,d2,d1,
因为数对(di,dj)与(dj,di)中必有一个为逆序对(其中1≤i
C | 2 n |
n(n-1) |
2 |
所以S(D)+S(D1)=
n(n-1) |
2 |
所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为
n(n-1) |
4 |
而对于数字1,2,…,n的任意一个排列A:a1,a2,…,an,
都可以构造排列A1:an,an-1,…,a2,a1,
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为
n(n-1) |
4 |
所以所有S(A)的算术平均值为
n(n-1) |
4 |
(Ⅲ)证明:(1)当j=i+1,即ai,aj相邻时,
不妨设ai<ai+1,则排列A'为a1,a2,…,ai-1,ai+1,ai,ai+2,…,an,
此时排列A'与排列A:a1,a2,…,an相比,仅多了一个逆序对(ai+1,ai),
所以S(A')=S(A)+1,
所以S(A)+S(A')=2S(A)+1为奇数.
(2)当j≠i+1,即ai,aj不相邻时,
假设ai,aj之间有m个数字,记排列A:a1,a2,…,ai,k1,k2,…km,aj,…,an,
先将ai向右移动一个位置,得到排列A1:a1,a2,…,ai-1,k1,ai,k2,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A1)与S(A)的奇偶性不同,
再将ai向右移动一个位置,得到排列A2:a1,a2,…,ai-1,k1,k2,ai,k3,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A2)与S(A1)的奇偶性不同,
以此类推,ai共向右移动m次,得到排列Am:a1,a2,…,k1,k2,…,km,ai,aj,…,an,
再将aj向左移动一个位置,得到排列Am+1:a1,a2,…,ai-1,k1,…,km,aj,ai,…,an,
以此类推,aj共向左移动m+1次,得到排列A2m+1:a1,a2,…,aj,k1,…,km,ai,…,an,
即为排列A',
由(1)可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇偶性发生变化,
而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置,可以得到排列A',
所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同,
所以S(A)+S(A')为奇数.
综上,得S(A)+S(A')为奇数.
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