证明：设非齐次线性方程aijxij求和=bi(i,j=1~n),对任意常数b1,b1...bn都有解的充要条件是A的行列式不为0

Question

证明：设非齐次线性方程aijxij求和=bi(i,j=1~n),对任意常数b1,b1...bn都有解的充要条件是A的行列式不为0

Answer 1

由已知,任一n维向量 (b1,b1...bn)^T 都可由A的列向量组线性表示
所以 n维基本向量组 ε1,...,εn 也可由A的列向量组线性表示
所以 A的列向量组与 ε1,...,εn 等价
所以 A的列向量组的秩等于n
所以 r(A)=n
所以 |A|≠0.
反之.若 |A|≠0
则由Cramer法则知方程组有解.