如图所示，质量M=8kg的长木板放在光滑水平面上，在长木板的右端施加一水平恒力F=8N，当长木板向右运动速率达到v1=10m/s时，在其右端有一质量m=2kg的小物块（可视为质点）以水平向左的速率

Question

如图所示，质量M=8kg的长木板放在光滑水平面上，在长木板的右端施加一水平恒力F=8N，当长木板向右运动速率达到v₁=10m/s时，在其右端有一质量m=2kg的小物块（可视为质点）以水平向左的速率v₂=2m/s滑上木板，物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.2，小物块始终没离开长木板，g取10m/s²，求：
（1）经过多长时间小物块与长木板相对静止；
（2）长木板至少要多长才能保证小物块不滑离长木板；
（3）如果开始将物块放在长木板右端时两物体均静止，在长木板的右端施加一水平恒力F=28N，物块与长木板的质量和动摩擦因数均与上面一样，并已知长木板的长度为10.5m，要保证小物块不滑离长木板，水平恒力F作用时间的范围．

Answer 1

（1）小物块的加速度为：a₂=μg=2m/s²，水平向右
长木板的加速度为：a₁=(F−μmg)/(M)=(8−0.2×2×10)/(8)m/s2=0.5 m/s²  方向水平向右
令刚相对静止时他们的共同速度为v，以木板运动的方向为正方向
对小物块有：v=-v₂+a₂t
对木板有：v=v₁+a₁t
联立解得：t=8s；v=14m/s
故经过8s小物块与长木板保持相对静止．
（2）此过程中小物块的位移为：
x₂=(−v2+v)/(2)t=(−2+14)/(2)×8m=48m
长木板的位移为：x₁=(v1+v)/(2)t＝(10+14)/(2)×8m＝96m
所以长木板的长度至少为：L=x₁-x₂=98-48m=48m．
故长木板至少的长度为48m．
（3）小物块的加速度为：a2＝μg＝2m/s2，水平向右
长木板的加速度为：a1＝(F−μmg)/(M)＝(28−0.2×2×10)/(8)m/s2＝3m/s2，水平向右
设水平恒力F作用时间最大为t₁，物块滑到左侧的时间为t₂
t₁后小物块的加速度为：a2＝μg＝2m/s2，水平向右，
长木板的加速度为：

a

′ 1

＝(μmg)/(M)＝(0.2×2×10)/(8)m/s2＝0.5m/s2，水平向左
则据速度关系有：a₂（t₁+t₂）=a₁t₁-a₁′t₂
据位移关系有：L=((a1t21)/(2)+a1t1t2−(1)/(2)

a

′ 1

t

2 2

)−(a2(t1+t2)2)/(2)=10.5m
联立上式代入数据可解得：t1＝√(15s)．
答：（1）经过8s时间小物块与长木板相对静止；
（2）长木板至少48m长才能保证小物块不滑离长木板；
（3）如果开始将物块放在长木板右端时两物体均静止，在长木板的右端施加一水平恒力F=28N，物块与长木板的质量和动摩擦因数均与上面一样，并已知长木板的长度为10.5m，要保证小物块不滑离长木板，水平恒力F作用时间小于√(15)s．