如图所示，一个质量为m=0.6kg的小球，以某一初速度v0从图中P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧轨道（不计空气阻力，进入时无机械能损失）．已知圆弧半径R=0.3m，图

Question

如图所示，一个质量为m=0.6kg的小球，以某一初速度v₀从图中P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧轨道（不计空气阻力，进入时无机械能损失）．已知圆弧半径R=0.3m，图中θ=60°，小球到达A点时的速度v=4m/s．（取g=10m/s²）试求：
（1）小球做平抛运动的初速度v₀；
（2）P点与A点的水平距离x；
（3）判断小球能否通过圆弧最高点C；
（4）求出小球到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力F_N．

Answer 1

（1）将小球到达A点的速度分解有：
v₀=vcosθ=2 m/s．
（2）根据v_y=vsinθ=gt=2√(3)m/s
解得：t=(vy)/(g)＝(2√(3))/(10)s＝(√(3))/(5)s
根据 x=v₀t
代入数据得：x=(2√(3))/(5)m．
（3）假设小球能到达C点，由动能定理有：
-mgR（1+cosθ）=(1)/(2)mvc2-(1)/(2)mv²
代入数据解得：v_C=√(7) m/s
根据牛顿第二定律得：mg=m(vC′2)/(R)，
解得C点的临界速度为：vc′＝√(gR)＝√(3)m/s
v_c＞√(3) m/s，故小球能到达最高点C
（4）在最低点，由牛顿第二定律有：F_N′-mg=m(vB2)/(R)（取向上为正）
A-B由动能定理有：mgR（1-cosθ）=(1)/(2)mvB2-(1)/(2)mv²
代入数据得：F_N′=44 N
由牛顿第三定律：F_N=-F_N′=44 N，方向竖直向下．
答：（1）小球做平抛运动的初速度为2 m/s；　
（2）P与A点的水平距离为(2√(3))/(5)m；
（3）小球能到达最高点C
（4）小球到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力为44 N，方向竖直向下．