设w=z^(1/3)确定在从原点z=0起沿正实轴割破了的z平面上,并且w（i）=-i,试求w(-i)的值.

Question

设w=z^(1/3)确定在从原点z=0起沿正实轴割破了的z平面上,并且w（i）=-i,试求w(-i)的值.

Answer 1

这题意思就是幂的转角不能越过正实轴呗
那么由w(i)应该求出这个函数应该取哪一个辐角
w=z^(1/3)有三支,一支为w=|z|^1/3*exp(i*Arg(z)/3)
一支为w=|z|^1/3*exp(i*(Arg(z)/3+2/3*pi))
最后一去为w=|z|^1/3*exp(i*(Arg(z)/3+4/3*pi))
Arg表示函数的辐角主值,pi表示圆周率
由w(i)=-i,而Agr(i)=pi/2,Arg(-i)=3/2pi可以知道,此一w函数取的是最后一支
所以最终Agr(w(-i))=Arg(-i)/3+4/3pi=11/6pi,|w(-i)|=1
所以w(-i)=cos(11/6pi)+i*sin(11/6pi)=sqrt(3)/2-1/2i
sqrt表示开根号