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选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-2a|+|x-a|,a∈R,a≠0.(1)当a=1时,解不等式:f(x)>2;(2)若b∈R且b≠0,证明:f(b)≥f(a),并求在等号成立时ba的取值范围.
题目详情
选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-2a|+|x-a|,a∈R,a≠0.
(1)当a=1时,解不等式:f(x)>2;
(2)若b∈R且b≠0,证明:f(b)≥f(a),并求在等号成立时
的取值范围.
已知函数f(x)=|x-2a|+|x-a|,a∈R,a≠0.
(1)当a=1时,解不等式:f(x)>2;
(2)若b∈R且b≠0,证明:f(b)≥f(a),并求在等号成立时
b |
a |
▼优质解答
答案和解析
(1)因为a=1,所以原不等式为|x-2|+|x-1|>2.
当x≤1时,原不等式化简为1-2x>0,即x<
;
当1<x≤2时,原不等式化简为1>2,即x∈∅;
当x>2时,原不等式化简为2x-3>2,即x>
.
综上,原不等式的解集为{x|x<
或x>
}.
(2)由题意可得f(a)=|a|,f(b)=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|,
所以f(b)≥f(a),
又等号成立,当且仅当2a-b与b-a同号,或它们至少有一个为零,
从而(2a-b)(b-a)≥0.即3ab-2a2-b2≥0,
即(
)2−
+2≤0,从而求得 1≤
≤2.
当x≤1时,原不等式化简为1-2x>0,即x<
1 |
2 |
当1<x≤2时,原不等式化简为1>2,即x∈∅;
当x>2时,原不等式化简为2x-3>2,即x>
5 |
2 |
综上,原不等式的解集为{x|x<
1 |
2 |
5 |
2 |
(2)由题意可得f(a)=|a|,f(b)=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|,
所以f(b)≥f(a),
又等号成立,当且仅当2a-b与b-a同号,或它们至少有一个为零,
从而(2a-b)(b-a)≥0.即3ab-2a2-b2≥0,
即(
b |
a |
3b |
a |
b |
a |
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