已知，平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），C点坐标为（m，0）（0<m<8），D为线段BC上一点，以D为圆心，r为半径作D．（1）如图1，若D经过O、B两点，求证：点C在

Question

已知，平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），C点坐标为（m，0）（0<m<8），D为线段BC上一点，以D为圆心，r为半径作 D．
（1）如图1，若 D经过O、B两点，求证：点C在 D上；
（2）如图2，若 D与OA、AB相切，且m=6，求r；
（3）若r=1.5，且 D与△OAB的两边相切，求m的值．

Answer 1

（1）连接OD，如图1，

∵∠BOC=90°，
∴∠OBD+∠OCB=90°，∠BOD+∠COD=90°．
∵DO=DB，
∴∠OBD=∠BOD，
∴∠COD=∠OCD，
∴DC=DO，
∴点C在 D上；

（2）设 D与OA、AB分别相切于点E、点F，连接DE、DF、DA，如图2，

则有DE⊥OA，DF⊥AB．
∵A（8，0），B（0，6），C（6，0），
∴OA=8，OB=6，OC=6，
∴AB=10，AC=2．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB，
∴(1)/(2)×2×6=(1)/(2)×2r+(1)/(2)×10×r，
解得r=1；

（3）∵A（8，0），B（0，6），C（m，0），
∴OA=8，OB=6，OC=m，
∴AB=10，AC=8-m．
①若 D与OA、OB分别相切于点E、H，连接DH、DE、OD，如图3①，

则有DE⊥OA，DH⊥OB．
∵S_△BOC=S_△ODC+S_△ODB，
∴(1)/(2)×m×6=(1)/(2)×m×1.5+(1)/(2)×6×1.5，
解得m=2；
②若 D与OA、AB分别相切于点E、F，连接DE、DF、AD，如图3②，

则有DE⊥OA，DF⊥AB．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB，
∴(1)/(2)×（8-m）×6=(1)/(2)×（8-m）×1.5+(1)/(2)×10×1.5，
解得m=(14)/(3)；
③若 D与OB、AB分别相切于点H、F，点C作CN⊥AB于N，连接DH、DF，如图3③，

则有DH⊥OB，DF⊥AB，DH=DF，
∴BC平分∠ABO，即∠OBC=∠NBC．
在Rt△BOC和Rt△BNC中，

∠OBC=∠NBC

∠BOC=∠BNC=90°

BC=BC

，
∴Rt△BOC≌Rt△BNC，
∴BN=BO=6，CN=OC=m，
∴AN=10-6=4．
在Rt△CNA中，根据勾股定理可得
m²+4²=（8-m）²，
解得m=3．
综上所述：m的值为2、3、(14)/(3)．