已知函数f（x）=ex+m-x3，g（x）=ln（x+1）+2．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）>g（x）-x3．

Question

已知函数f（x）=e^x+m-x³，g（x）=ln（x+1）+2．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；
（2）当m≥1时，证明：f（x）>g（x）-x³．

Answer 1

（1）函数f（x）=e^x+m-x³的导数为f′（x）=e^x+m-3x²，
在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e^m=1，
解得m=0；
（2）证明：f（x）>g（x）-x³即为
e^x+m>ln（x+1）+2．
由y=e^x-x-1的导数为y′=e^x-1，
当x>0时，y′>0，函数递增；当x<0时，y′<0，函数递减．
即有x=0处取得极小值，也为最小值0．
即有e^x≥x+1，则e^x+m≥x+m+1，
由h（x）=x+m+1-ln（x+1）-2=x+m-ln（x+1）-1，
h′（x）=1-(1)/(x+1)，当x>0时，h′（x）>0，h（x）递增；
-1<x<0时，h′（x）<0，h（x）递减．
即有x=0处取得最小值，且为m-1，
当m≥1时，即有h（x）≥m-1≥0，
即x+m+1≥ln（x+1）+2，
则有f（x）>g（x）-x³成立．