怎样用数学归纳法证明：当n>=2时,（2-r)^n>2-r^n(0

Question

怎样用数学归纳法证明：当n>=2时,（2-r)^n>2-r^n (0

Answer 1

我先假定你的n是自然数啊.
对于该命题,
1.当n=2时,
（2-r)^n=（2-r)^2=4-4r+r^2 2-r^n=2-r^2.
所以（2-r)^n - （2-r^n) =(4-4r+r^2)- (2-r^2) = 2-4r+2r^2 = 2(r^2-2r+1)= 2(r-1)^2.
因为 r不等于1,所以 （2-r)^n - （2-r^n) = 2(r-1)^2>0.及 （2-r)^n>2-r^n
所以命题在n=2时成立.
2.假设n=m,m>=2,时,命题成立.
则 （2-r)^m>2-r^m.即 （2-r)^m- (2-r^m )= (2-r)^m-2+r^m>0.所以,(2-r)^m+r^m>2.
又因为 2-r>r>0 (由r的取值范围推出）,且m+1>m>=2,
所以 (2-r)^m< (2-r)^(m+1),r^m (2-r)^m-2+r^m>0.
所以（2-r)^(m+1)>(2-r^(m+1) )
即当n=m命题成立时,命题对于n=m+1也成立.
由此可得,命题在n=2,2+1,2+2,2+3,.都成立.
即命题在n>=2且n为自然数时成立.
要是想证明在n>=2时成立,只需将上面的m+1换成+k,k大于零即可.