{xn}在limn→+∞xn=0的条件下，试问∞n＝1(−1)nxn收敛吗？证之．

Question

{x_n}在

lim

n→+∞

xn=0的条件下，试问

∞

n＝1

(−1)nxn收敛吗？证之．

Answer 1

∞

n＝1

(−1)nxn不一定收敛．
取xn＝(1)/(n)，则{x_n}单调递减且

lim

n→∞

xn＝0，
故利用莱布尼兹判别法可得，

∞

n＝1

(−1)nxn收敛．
取xn＝(1)/(n)−((−1)n)/(√(n))，则

lim

n→∞

xn＝0．

∞

n＝1

(−1)nxn=

∞

n＝1

((−1)n)/(n)-

∞

n＝1

(1)/(√(n))．
因为(1)/(n)单调减少且

lim

n→∞

(1)/(n)＝0，
故利用莱布尼兹判别法可得，

∞

n＝1

((−1)n)/(n)收敛．
又因为

作业搜用户 2017-10-31