帮忙求下下面三个极限:lim(n→∞)∑(n+i)½／(n³)½,下部为i=1,上部为n第二个lim(n→∞)∑1／(2n+i),下部为i=1,上部为n第三个lim(x→∞)(∫cos(t²)dt)／sin(x),分子是变限积分,积分区间为0到

Question

帮忙求下下面三个极限: lim(n→∞)∑(n+i)½／(n³)½,下部为i=1,上部为n
第二个 lim(n→∞)∑1／(2n+i),下部为i=1,上部为n
第三个lim(x→∞)(∫cos(t²)dt)／sin(x),分子是变限积分,积分区间为0到x
小弟对求数列和的极限不太熟悉,烦请各位大神多多指教,教我一些常用的方法,小弟在此谢过

Answer 1

这种求和的题基本上就是两种方法：一是不等式放缩然后用夹逼定理.而是用定积分的定义.
前面两个都是用定积分的定义,
1、求和号提出因子1/n,求和号变为1/n*∑(1+i/n)½对i从1到n求和.
这恰好是f(x)=(1+x)^(1/2)在[0,1]上均分为n份的Riemann和,因此极限是
积分(从0到1)(1+x)^(1/2)=2(1+x)^(3/2)/3|上限1下限0=2/3*[2^(3/2)-1].
2、类似,提出1/n后变为1/n*∑1/(2+i/n),f(x)=1/(2+x)在[0,1]上的Riemann和,
极限是：积分(从0到1)dx/(2+x)=ln(2+x)|上限1下限0=ln(3/2).
3、洛必达法则和微积分基本定理合用.
分子求导时用微积分基本定理：[积分(从a到x)f(t)dt]'=f(x),
因此用一次洛必达法则后变为lim cos(x^2)/cosx=1.