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(2014•青岛一模)在数列{an}(n∈N*)中,其前n项和为Sn,满足2Sn=n-n2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=n•2an,n=2k−11n2+2n,n=2k(k为正整数),求数列{bn}的前2n项和T2n.

题目详情
(2014•青岛一模)在数列{an}(n∈N*)中,其前n项和为Sn,满足2Sn=n-n2
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
n•2an,n=2k−1
1
n2+2n
,n=2k
(k为正整数),求数列{bn}的前2n项和T2n
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分12分)
(Ⅰ)由题设得:2Sn=n−n2,
2Sn−1=n−1−(n−1)2(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1=1-n(n≥2)…(2分)
当n=1时,a1=S1=0,
∴数列{an}是a1=0为首项、公差为-1的等差数列,
∴an=1-n.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:bn=
n•21−n,n=2k−1
1
n(n+2)
,n=2k
…(6分)
∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n
=[1•20+3•2-2+5•2-4+7•2-6…+(2n-1)•22-2n]
+
1
2
[(
1
2
1
4
)+(
1
4
1
6
)+(
1
6
1
8
)+…+(
1
2n
1
2n+2
)]
=[1•20+3•2−2+5•2−4+7•2−6…+(2n−1)•22−2n]+
n
4(n+1)
…(9分)
设T=1+3•2-2+5•2-4+7•2-6+…+(2n-1)•22-2n
则2-2•T=2-2+3•2-4+5•2-6+7•2-8+…+(2n-3)•22-2n+(2n-1)•2-2n
两式相减得:
3
4
•T=1+2(2−2+2−4+2−6+2−8+…+22−2n)−(2n−1)•2−2n
整理得:T=
20
9
24n+20
9•22n
…(11分)
T2n=
20
9
24n+20
9•22n
+
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