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(2014•青岛一模)在数列{an}(n∈N*)中,其前n项和为Sn,满足2Sn=n-n2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=n•2an,n=2k−11n2+2n,n=2k(k为正整数),求数列{bn}的前2n项和T2n.
题目详情
(2014•青岛一模)在数列{an}(n∈N*)中,其前n项和为Sn,满足2Sn=n-n2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
(k为正整数),求数列{bn}的前2n项和T2n.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
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▼优质解答
答案和解析
(本小题满分12分)
(Ⅰ)由题设得:2Sn=n−n2,
∴2Sn−1=n−1−(n−1)2(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1=1-n(n≥2)…(2分)
当n=1时,a1=S1=0,
∴数列{an}是a1=0为首项、公差为-1的等差数列,
∴an=1-n.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:bn=
…(6分)
∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n
=[1•20+3•2-2+5•2-4+7•2-6…+(2n-1)•22-2n]
+
[(
−
)+(
−
)+(
−
)+…+(
−
)]
=[1•20+3•2−2+5•2−4+7•2−6…+(2n−1)•22−2n]+
…(9分)
设T=1+3•2-2+5•2-4+7•2-6+…+(2n-1)•22-2n,
则2-2•T=2-2+3•2-4+5•2-6+7•2-8+…+(2n-3)•22-2n+(2n-1)•2-2n,
两式相减得:
•T=1+2(2−2+2−4+2−6+2−8+…+22−2n)−(2n−1)•2−2n
整理得:T=
−
…(11分)
∴T2n=
−
+
(Ⅰ)由题设得:2Sn=n−n2,
∴2Sn−1=n−1−(n−1)2(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1=1-n(n≥2)…(2分)
当n=1时,a1=S1=0,
∴数列{an}是a1=0为首项、公差为-1的等差数列,
∴an=1-n.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:bn=
|
∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n
=[1•20+3•2-2+5•2-4+7•2-6…+(2n-1)•22-2n]
+
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
6 |
1 |
6 |
1 |
8 |
1 |
2n |
1 |
2n+2 |
=[1•20+3•2−2+5•2−4+7•2−6…+(2n−1)•22−2n]+
n |
4(n+1) |
设T=1+3•2-2+5•2-4+7•2-6+…+(2n-1)•22-2n,
则2-2•T=2-2+3•2-4+5•2-6+7•2-8+…+(2n-3)•22-2n+(2n-1)•2-2n,
两式相减得:
3 |
4 |
整理得:T=
20 |
9 |
24n+20 |
9•22n |
∴T2n=
20 |
9 |
24n+20 |
9•22n |
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