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（2014•青岛一模）在数列{an}（n∈N*）中，其前n项和为Sn，满足2Sn=n-n2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=n•2an，n＝2k−11n2+2n，n＝2k（k为正整数），求数列{bn}的前2n项和T2n．

题目详情

（2014•青岛一模）在数列{a_n}（n∈N^*）中，其前n项和为S_n，满足2S_n=n-n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

n•2an，n＝2k−1

n2+2n

，n＝2k

（k为正整数），求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

▼优质解答

答案和解析

（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题设得：2Sn＝n−n2，
∴2Sn−1＝n−1−(n−1)2(n≥2)
∴a_n=S_n-S_n-1=1-n（n≥2）…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=0，
∴数列{a_n}是a₁=0为首项、公差为-1的等差数列，
∴a_n=1-n．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn＝

n•21−n，n＝2k−1

n(n+2)

，n＝2k

…（6分）
∴T_2n=b₁+b₂+b₃+…+b_2n
=[1•2⁰+3•2^-2+5•2^-4+7•2^-6…+（2n-1）•2^2-2n]
+

[(

−

)+(

−

)+(

−

)+…+(

−

2n+2

)]
=[1•20+3•2−2+5•2−4+7•2−6…+(2n−1)•22−2n]+

4(n+1)

…（9分）
设T=1+3•2^-2+5•2^-4+7•2^-6+…+（2n-1）•2^2-2n，
则2^-2•T=2^-2+3•2^-4+5•2^-6+7•2^-8+…+（2n-3）•2^2-2n+（2n-1）•2^-2n，
两式相减得：

•T＝1+2(2−2+2−4+2−6+2−8+…+22−2n)−(2n−1)•2−2n
整理得：T＝

−

24n+20

9•22n

…（11分）
∴T2n＝

−

24n+20

9•22n