求极限题：limn—>无穷[2^n+(2x)^n+x^(2n)]^(1/n),x大于等于0.是考研辅导书上的题,求详解思路提示当中说到夹逼准则的应用,但是依然没有想出来.这里x的值应该是以取值1为界限讨论没错吧

Question

求极限题：lim【n—>无穷】 [2^n+(2x)^n+x^(2n)]^(1/n) ,x大于等于0.是考研辅导书上的题,求详解
思路提示当中说到夹逼准则的应用,但是依然没有想出来.这里x的值应该是以取值1为界限讨论没错吧

Answer 1

【 设:a≤b≤c ,有：
c=[c^n]^(1/n)≤ [a^n+b^n+c^n]^(1/n) ≤ [3*c^n]^(1/n)=c*3^(1/n)
lim[n—>∞] 3^(1/n) =1
∴lim[n—>∞] [a^n+b^n+c^n]^(1/n) = c 】
当 0≤x≤1 时,2x≤2 ,x^2≤2
∴lim[n—>∞] [2^n+(2x)^n+(x^2)^n)]^(1/n) =2
当 1≤x≤2 时,2≤2x ,x^2≤2x
∴lim[n—>∞] [2^n+(2x)^n+(x^2)^n)]^(1/n) =2x
当 2≤x 时,2x≤ x^2 ,2x≤ x^2
∴lim[n—>∞] [2^n+(2x)^n+(x^2)^n)]^(1/n) =x^2