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求无穷乘积∏(n=1,∞)(1-1/(n+1)^2)
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求无穷乘积∏(n=1,∞)(1-1/(n+1)^2)
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答案和解析
1-1/(n+1)^2 = [(n+1)^2 - 1] / (n+1)^2 = n/(n+1) × (n+2) / (n+1)
∏(n=1,∞)(1-1/(n+1)^2)
=1/2×3 / 2 × 2/3×4/3 × 3/4×5/4 × . × (n-1)/n × (n+1)/n × n/(n+1)×(n+2)/(n+1)
= 1/2 × (n+2)/(n+1)
= (n+2) / (2n+2)
∏(n=1,∞)(1-1/(n+1)^2)
=1/2×3 / 2 × 2/3×4/3 × 3/4×5/4 × . × (n-1)/n × (n+1)/n × n/(n+1)×(n+2)/(n+1)
= 1/2 × (n+2)/(n+1)
= (n+2) / (2n+2)
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