一道高数题n趋近于无穷limn^3[a^(1/n)-a^sin(1/n))(a>0)求极限

Question

一道高数题
n趋近于无穷 limn^3[a^(1/n)-a^sin(1/n)) (a>0) 求极限

Answer 1

答：
令t=1/n
n->+∞,所以t->0.
原式
=limt->0 (a^t-a^sint)/t^3
洛必达法则：
=limt->0 lna*(a^t-cost*a^sint)/3t^2
=limt->0 lna*(lna*a^t+sinta^sint-lna*(cost)^2*a^sint)/6t
=limt->0 lna*((lna)^2*a^t+costa^sint+sintcostlna*a^sint+2lna*costsint*a^sint-(lna)^2(cost)^3*a^sint)/6
=lna[(lna)^2+1-(lna)^2]/6
=lna/6
注：原题中括号里内容是在次数里还是在外面?我这里算的是：
[a^(1/n)-a^sin(1/n)]*n^3,在外面的.